5. Решите уравнение √x + 1 = x-5

Решение:

Возведём обе части уравнения в квадрат, предварительно убедившись, что \( x-5 \ge 0 \), то есть \( x \ge 5 \).

1. \( (\sqrt{x+1})^2 = (x-5)^2 \)
2. \( x+1 = x^2 - 10x + 25 \)
3. Приведём к квадратному уравнению: \( x^2 - 10x - x + 25 - 1 = 0 \)
4. \( x^2 - 11x + 24 = 0 \)
5. Найдём дискриминант: \( D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 121 - 96 = 25 \)
6. Найдём корни: \( x_1 = \frac{11 + \sqrt{25}}{2} = \frac{11+5}{2} = \frac{16}{2} = 8 \)
7. \( x_2 = \frac{11 - \sqrt{25}}{2} = \frac{11-5}{2} = \frac{6}{2} = 3 \)
8. Проверим условие \( x \ge 5 \). Корень \( x_1 = 8 \) удовлетворяет условию. Корень \( x_2 = 3 \) не удовлетворяет условию \( x \ge 5 \).
9. Проверим корень \( x=8 \) подстановкой в исходное уравнение: \( \sqrt{8+1} = 8-5 \) → \( \sqrt{9} = 3 \) → \( 3 = 3 \). Верно.

Ответ: 8