8. Найдите значение f'(1), еслиf(x) = (1-2x)/(5x+2)

Решение:

Для нахождения \( f'(1) \) сначала найдём производную функции \( f(x) \) по правилу дифференцирования частного:

\[ f'(x) = \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \]

Где \( u = 1 - 2x \) и \( v = 5x + 2 \).

Найдем производные \( u' \) и \( v' \):

\[ u' = (1 - 2x)' = -2 \]

\[ v' = (5x + 2)' = 5 \]

Теперь подставим в формулу производной частного:

\[ f'(x) = \frac{(-2)(5x+2) - (1-2x)(5)}{(5x+2)^2} \]

\[ f'(x) = \frac{-10x - 4 - (5 - 10x)}{(5x+2)^2} \]

\[ f'(x) = \frac{-10x - 4 - 5 + 10x}{(5x+2)^2} \]

\[ f'(x) = \frac{-9}{(5x+2)^2} \]

Теперь найдём значение производной при \( x = 1 \):

\[ f'(1) = \frac{-9}{(5 \cdot 1 + 2)^2} = \frac{-9}{(5+2)^2} = \frac{-9}{7^2} = \frac{-9}{49} \]

Ответ: \( -\frac{9}{49} \)