6. Решите неравенство log2(1-0,2x) < 1/2

Решение:

Для решения логарифмического неравенства необходимо учесть два условия:

1. ОДЗ (область допустимых значений): Аргумент логарифма должен быть больше нуля: \( 1 - 0.2x > 0 \) → \( -0.2x > -1 \) → \( x < \frac{-1}{-0.2} \) → \( x < 5 \).
2. Решение неравенства: Так как основание логарифма \( 2 > 1 \), при снятии логарифма знак неравенства сохраняется:

\[ \log_2(1 - 0.2x) < \frac{1}{2} \]

\[ 1 - 0.2x < 2^{\frac{1}{2}} \]

\[ 1 - 0.2x < \sqrt{2} \]

\[ -0.2x < \sqrt{2} - 1 \]

\[ x > \frac{\sqrt{2} - 1}{-0.2} \]

\[ x > -5(\sqrt{2} - 1) \]

\[ x > 5 - 5\sqrt{2} \]

Объединим условия ОДЗ и решения неравенства:

\( 5 - 5\sqrt{2} < x < 5 \)

Ответ: \( (5 - 5\sqrt{2}; 5) \)