7. Найдите область определения функции у = \(\sqrt\){\(\frac{5}{7}\)^{2x-4} - \(\frac{7}{5}\)}

Решение:

Область определения функции определяется условием, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

\[ \left( \frac{5}{7} \right)^{2x-4} - \frac{7}{5} \ge 0 \]

\[ \left( \frac{5}{7} \right)^{2x-4} \ge \frac{7}{5} \]

Заметим, что \( \frac{7}{5} = \left( \frac{5}{7} \right)^{-1} \).

\[ \left( \frac{5}{7} \right)^{2x-4} \ge \left( \frac{5}{7} \right)^{-1} \]

Поскольку основание степени \( \frac{5}{7} < 1 \), при сравнении степеней знак неравенства меняется на противоположный:

\[ 2x - 4 \le -1 \]

\[ 2x \le -1 + 4 \]

\[ 2x \le 3 \]

\[ x \le \frac{3}{2} \]

Ответ: \( (-\infty; \frac{3}{2}] \)