5. Решите уравнения: а) \(x^3-3x^2-4x=0\); б) \((2x-3)^3-(2x-3)^2=12x-18\); в) \((2x-1)^4-x^2=0\).

а) Вынесем \(x\) за скобки и разложим квадратный трёхчлен на множители: \(x^3-3x^2-4x=x(x^2-3x-4)=x(x-4)(x+1)\). Следовательно, \(x=0\), \(x=4\) или \(x=-1\).

б) Обозначим \(t=2x-3\). Тогда \(12x-18=6t\), поэтому \(t^3-t^2=6t\), то есть \(t(t-3)(t+2)=0\). Отсюда \(t=0,3,-2\). Возвращаясь к переменной \(x\), получаем \(x=\frac{3}{2},3,\frac{1}{2}\).

в) Применим разность квадратов:

\((2x-1)^4-x^2=((2x-1)^2-x)((2x-1)^2+x)=0\).

Первый множитель равен \(4x^2-5x+1=(4x-1)(x-1)\), поэтому даёт корни \(x=\frac14\) и \(x=1\). Второй множитель \(4x^2-3x+1\) не имеет действительных корней, так как его дискриминант равен \(9-16=-7<0\).

Ответ: а) \(-1,0,4\); б) \(\frac12,\frac32,3\); в) \(\frac14,1\).