5. Решите задачу. Моторная лодка прошла против течения реки 77 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч.

Обозначим скорость лодки в стоячей воде через \(v\) км/ч. Тогда скорость против течения равна \(v-4\), а по течению — \(v+4\). Поскольку обратный путь по течению занял на 2 часа меньше:

\(\dfrac{77}{v-4}-\dfrac{77}{v+4}=2\), где \(v>4\).

Приведём левую часть к общему знаменателю: \(\dfrac{77((v+4)-(v-4))}{(v-4)(v+4)}=2\).

Получаем \(\dfrac{616}{v^2-16}=2\), значит \(v^2-16=308\), откуда \(v^2=324\). С учётом условия \(v>4\), имеем \(v=18\).

Проверка: против течения лодка шла \(77/(18-4)=5.5\) ч, по течению — \(77/(18+4)=3.5\) ч; разность равна 2 ч.

Ответ: 18 км/ч.