5. Решите задачу, выделяя три этапа математического моделирования. Длина прямоугольника на 3 см больше его ширины. Если длину прямоугольника увеличить на 2 см, а ширину — на 1 см, то его площадь увеличится на 20 см². Найдите длину и ширину данного прямоугольника.

1-й этап. Математическая модель. Пусть ширина прямоугольника равна \(x\) см, тогда длина равна \(x+3\) см. После увеличения размеры будут \(x+1\) см и \(x+5\) см. По условию прирост площади составляет 20 см²:

\((x+1)(x+5)-x(x+3)=20.\)

2-й этап. Решение модели. Раскроем скобки и решим уравнение:

\(x^2+6x+5-(x^2+3x)=20,\)

\(3x+5=20,\quad 3x=15,\quad x=5.\)

3-й этап. Ответ на вопрос задачи. Ширина равна 5 см, а длина на 3 см больше: \(5+3=8\) см. Проверка: исходная площадь \(5\cdot8=40\) см², увеличенная площадь \(6\cdot10=60\) см²; прирост равен \(60-40=20\) см².

Ответ: ширина — 5 см, длина — 8 см.