5. Сферический резервуар, стоящий на земле, имеет радиус R. При какой наименьшей скорости камень, брошенный с поверхности Земли, может перелететь через резервуар, коснувшись его вершины? Под каким углом к горизонту должен быть при этом брошен камень?

Рассматриваем предельную траекторию: камень касается верхней точки резервуара в вершине своей траектории. Центр резервуара расположен на высоте \(R\), поэтому вершина — на высоте \(2R\).

1. В вершине траектории вертикальная скорость равна нулю. Из условия подъёма на высоту \(2R\): \(v_y^2/(2g)=2R\), откуда \(v_y=2\sqrt{gR}\).
2. Горизонтальное расстояние от точки броска до вершины должно быть не меньше диаметра резервуара? Для касания в его верхней точке бросок производится от поверхности земли у одного края, то есть горизонтальное расстояние до центра равно \(R\). Время подъёма равно \(v_y/g\), поэтому \(v_x(v_y/g)=R\), откуда \(v_x= frac12\sqrt{gR}\).
3. Тогда \(v_{\min}=\sqrt{v_x^2+v_y^2}= \frac{\sqrt{17}}{2}\sqrt{gR}\), а \(\tan\alpha=v_y/v_x=4\).

Ответ: \(v_{\min}= \frac{\sqrt{17}}{2}\sqrt{gR}\), угол броска \(\alpha=\arctan 4\approx76^\circ\).