5. Сколько существует десятизначных чисел, в записи которых имеются хотя бы две одинаковые цифры?

Всего десятизначных чисел \(9\cdot10^9\): первая цифра имеет 9 вариантов (от 1 до 9), каждая из оставшихся девяти — 10 вариантов.

Посчитаем числа, в которых все цифры различны. Первую цифру выбираем 9 способами, а для следующих цифр остаётся соответственно 9, 8, …, 1 вариант. Получаем \(9\cdot9!=3265920\).

Тогда чисел с хотя бы двумя одинаковыми цифрами:

\[9\cdot10^9-9\cdot9!=9000000000-3265920=8996734080.\]

Ответ: 8 996 734 080 чисел.