5. Сократить дроби: а) (√30 + √35)/(√12 + √14); б) (√x + √y)/(x − y); в) (c + 2√(cd) + d)/(c − d); г) (b − 25)/(√b + 5).

а) Вынесем множители из-под корней и сократим общий множитель:

\(\frac{\sqrt{30}+\sqrt{35}}{\sqrt{12}+\sqrt{14}}=\frac{\sqrt5(\sqrt6+\sqrt7)}{\sqrt2(\sqrt6+\sqrt7)}=\sqrt{\frac52}=\frac{\sqrt{10}}2\).

б) Разложим знаменатель как разность квадратов:

\(x-y=(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})\), поэтому \(\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{x-y}=\frac1{\sqrt{x}-\sqrt{y}}\).

в) Числитель — квадрат суммы корней:

\(c+2\sqrt{cd}+d=(\sqrt c+\sqrt d)^2\), а \(c-d=(\sqrt c-\sqrt d)(\sqrt c+\sqrt d)\). Следовательно, \(\frac{c+2\sqrt{cd}+d}{c-d}=\frac{\sqrt c+\sqrt d}{\sqrt c-\sqrt d}\).

г) Разложим числитель как разность квадратов:

\(b-25=(\sqrt b-5)(\sqrt b+5)\), поэтому \(\frac{b-25}{\sqrt b+5}=\sqrt b-5\).

Предполагается, что переменные принимают значения, при которых корни определены и исходные знаменатели не равны нулю.

Ответ: а) \(\frac{\sqrt{10}}2\); б) \(\frac1{\sqrt{x}-\sqrt{y}}\); в) \(\frac{\sqrt c+\sqrt d}{\sqrt c-\sqrt d}\); г) \(\sqrt b-5\).