5) Сократите дробь: 36 / (3^(2n-1) * 4^(n-2))

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Представим числитель (36) и знаменатель (4) в виде простых множителей:
   \( 36 = 6^2 = (2 imes 3)^2 = 2^2 imes 3^2 \)
   \( 4 = 2^2 \)
2. Шаг 2: Подставим эти представления в дробь:
   \( rac{2^2 imes 3^2}{3^{2n-1} imes (2^2)^{n-2}} \)
3. Шаг 3: Применим свойство степени \( (a^m)^n = a^{m imes n} \) к знаменателю:
   \( (2^2)^{n-2} = 2^{2(n-2)} = 2^{2n-4} \)
4. Шаг 4: Теперь дробь выглядит так:
   \( rac{2^2 imes 3^2}{3^{2n-1} imes 2^{2n-4}} \)
5. Шаг 5: Применим свойство деления степеней с одинаковыми основаниями \( rac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \):
   Для основания 2: \( 2^{2 - (2n-4)} = 2^{2 - 2n + 4} = 2^{6 - 2n} \)
   Для основания 3: \( 3^{2 - (2n-1)} = 3^{2 - 2n + 1} = 3^{3 - 2n} \)
6. Шаг 6: Объединим упрощенные части:
   \( 2^{6 - 2n} imes 3^{3 - 2n} \)
7. Шаг 7: Можно также записать как:
   \( rac{2^6}{2^{2n}} imes rac{3^3}{3^{2n}} = rac{64}{4^n} imes rac{27}{9^n} \)
8. Шаг 8: Или, более удобно, представить как:
   \( rac{2^6}{2^{2n}} imes rac{3^3}{3^{2n}} = rac{64 imes 27}{4^n imes 9^n} = rac{1728}{(4 imes 9)^n} = rac{1728}{36^n} \)
9. Шаг 9: Альтернативная запись с отрицательными степенями:
   \( 2^{6-2n} imes 3^{3-2n} \)

Ответ: rac{2^6 imes 3^3}{2^{2n} imes 3^{2n}} = rac{64 imes 27}{4^n imes 9^n} = rac{1728}{36^n}