№ 5. \((\sqrt{x-1})^2+\frac{4}{x-1}-12=0\)

Область допустимых значений: \(x-1\ge0\) и \(x-1\ne0\), то есть \(x>1\).

На этой области \((\sqrt{x-1})^2=x-1\). Обозначим \(t=x-1\), где \(t>0\). Тогда \(t+\frac4t-12=0\).

Умножим на \(t\): \(t^2-12t+4=0\).

По формуле корней \(t=\frac{12\pm\sqrt{144-16}}2=6\pm4\sqrt2\). Оба значения положительны и допустимы.

Возвращаемся к \(x=t+1\): \(x=7\pm4\sqrt2\).

Ответ: \(x=7-4\sqrt2\) или \(x=7+4\sqrt2\).