5. Стороны треугольника 10 см, 11 см, √111 см. Найти средний по величине угол.

Сравним стороны: \(\sqrt{111}\approx10.54\), поэтому средняя по величине сторона — 10 см. Средний по величине угол лежит напротив неё.

Обозначим этот угол через \(\alpha\). По теореме косинусов:

\(10^2=11^2+(\sqrt{111})^2-2\cdot11\cdot\sqrt{111}\cos\alpha\).

Отсюда \(100=232-22\sqrt{111}\cos\alpha\), следовательно, \(\cos\alpha=\dfrac{6}{\sqrt{111}}\).

Значит, \(\alpha=\arccos\left(\dfrac{6}{\sqrt{111}}\right)\approx55.3^\circ\).

Ответ: угол, лежащий напротив стороны 10 см, приблизительно равен 55.3°.