5. Сумма первых четырёх членов геометрической прогрессии равна 45, знаменатель прогрессии равен 2. Найдите сумму первых восьми членов этой прогрессии.

Решение:

Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии:

\[ S_n = b_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1} \]

По условию:

\[ S_4 = b_1 \cdot \frac{2^4 - 1}{2 - 1} = 45 \]

\[ b_1 \cdot \frac{16 - 1}{1} = 45 \]

\[ b_1 \cdot 15 = 45 \]

\[ b_1 = \frac{45}{15} = 3 \]

Теперь найдём сумму первых восьми членов:

\[ S_8 = b_1 \cdot \frac{q^8 - 1}{q - 1} \]

\[ S_8 = 3 \cdot \frac{2^8 - 1}{2 - 1} \]

\[ S_8 = 3 \cdot \frac{256 - 1}{1} = 3 \cdot 255 = 765 \]

Ответ: 765.