5. Тип 3 № 7220 Задумали двузначное число. При перестановке цифр этого числа сумма квадратов полученного числа и задуманного числа оказалась равна 585. Найдите задуманное число, если известно, что вторая из его цифр на 1 меньше первой.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Обозначим цифры двузначного числа. Пусть первая цифра (десятки) будет 'x', а вторая цифра (единицы) будет 'y'. Задуманное число можно представить как 10x + y.
2. Шаг 2: Число, полученное перестановкой цифр, будет 10y + x.
3. Шаг 3: По условию задачи, вторая цифра на 1 меньше первой: \( y = x - 1 \).
4. Шаг 4: Сумма квадратов полученного числа и задуманного равна 585: \( (10x + y)^2 + (10y + x)^2 = 585 \).
5. Шаг 5: Подставим \( y = x - 1 \) в уравнение: \( (10x + (x - 1))^2 + (10(x - 1) + x)^2 = 585 \).
6. Шаг 6: Упростим выражения в скобках: \( (11x - 1)^2 + (10x - 10 + x)^2 = 585 \) => \( (11x - 1)^2 + (11x - 10)^2 = 585 \).
7. Шаг 7: Раскроем квадраты: \( (121x^2 - 22x + 1) + (121x^2 - 220x + 100) = 585 \).
8. Шаг 8: Приведем подобные члены: \( 242x^2 - 242x + 101 = 585 \).
9. Шаг 9: Перенесем 585 в левую часть: \( 242x^2 - 242x - 484 = 0 \).
10. Шаг 10: Разделим все уравнение на 242: \( x^2 - x - 2 = 0 \).
11. Шаг 11: Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант: \( D = (-1)^2 - 4 · 1 · (-2) = 1 + 8 = 9 \).
12. Шаг 12: Найдем корни: \( x_1 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{1 + 3}{2} = 2 \) и \( x_2 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{1 - 3}{2} = -1 \).
13. Шаг 13: Так как 'x' — цифра двузначного числа, она должна быть положительной. Поэтому \( x = 2 \).
14. Шаг 14: Найдем 'y' по условию \( y = x - 1 \): \( y = 2 - 1 = 1 \).
15. Шаг 15: Задуманное число: \( 10x + y = 10 · 2 + 1 = 21 \).

Ответ: 21