5. Точка M — середина стороны CD параллелограмма ABCD. Расстояние от вершины B данного параллелограмма до прямой AM равно 4. Найдите длину стороны AD, если известно, что ∠MAD = 30°.

Обозначим \(AD=x\), а длину AM — через \(t\). Поскольку M — середина CD, векторы можно записать как \(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AD}+\frac12\overrightarrow{AB}\), откуда \(\overrightarrow{AB}=2(\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AD})\).

Расстояние от B до прямой AM равно \(\frac{|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AM}|}{AM}\). Подставляя выражение для \(\overrightarrow{AB}\), получаем расстояние \(=2AD\sin\angle MAD=2x\sin30°=x\).

Это расстояние равно 4, следовательно, \(AD=4\).

Ответ: 4.