5) Точка O — середина стороны BC параллелограмма ABCD. Вне параллелограмма ABCD отмечена точка P так, что отрезки BO и AP имеют общую середину — точку F. Докажите, что отрезки OC и PD также имеют общую середину — точку R. Вычислите длину отрезка FR, если AD = 8.

Пусть векторные координаты вершин параллелограмма заданы так: A = 0, B = u, D = v, тогда C = u + v. Так как O — середина BC, получаем O = u + v/2.

Поскольку F — середина BO, имеем F = u + v/4. Из того, что F — середина AP, следует P = 2F = 2u + v/2.

Середина отрезка OC имеет координаты (O + C)/2 = u + 3v/4. Середина отрезка PD имеет координаты (P + D)/2 = u + 3v/4. Значит, отрезки OC и PD имеют общую середину R.

Векторы положения точек R и F отличаются на v/2, поэтому FR = |v|/2 = AD/2 = 8/2 = 4.

Ответ: FR = 4.