5. Треугольник CDE задан координатами своих вершин: C (2; 2), D (6; 5), E (5; −2). а) Докажите, что △CDE — равнобедренный; б) Найдите биссектрису, проведённую из вершины C.

а) Найдём длины сторон по формуле расстояния между точками:

\(CD=\sqrt{(6-2)^2+(5-2)^2}=\sqrt{16+9}=5\).

\(CE=\sqrt{(5-2)^2+(-2-2)^2}=\sqrt{9+16}=5\).

Так как \(CD=CE\), треугольник CDE равнобедренный с вершиной C.

б) Биссектриса из вершины равнобедренного треугольника делит основание DE пополам. Середина DE:

\(M\left(\frac{6+5}{2};\frac{5+(-2)}{2}\right)=\left(\frac{11}{2};\frac32\right)\).

Следовательно, биссектриса — отрезок CM. Его прямая проходит через C(2; 2) и M(11/2; 3/2); её уравнение: \(x-7y+12=0\). Чтобы выделить именно отрезок биссектрисы, можно задать его параметрически: \((x;y)=(2;2)+t(7;-1)\), где \(0\le t\le\frac12\).

Ответ: \(CD=CE=5\); биссектриса из C — отрезок до точки \(M\left(\frac{11}{2};\frac32\right)\), лежащий на прямой \(x-7y+12=0\).