5. Треугольник $CDE$ задан координатами своих вершин: $C(2;2)$, $D(6;5)$, $E(5;-2)$. а) Докажите, что $\triangle CDE$ — равнобедренный; б) Найдите биссектрису, проведённую из вершины $C$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 5. Треугольник $CDE$ задан координатами своих вершин: $C(2;2)$, $D(6;5)$, $E(5;-2)$. а) Докажите, что \(\triangle…$ Фото задания

5. Треугольник $CDE$ задан координатами своих вершин: $C(2;2)$, $D(6;5)$, $E(5;-2)$. а) Докажите, что $\triangle CDE$ — равнобедренный; б) Найдите биссектрису, проведённую из вершины $C$.

Accepted Answer

а) Найдём квадраты длин сторон, чтобы сравнить стороны, выходящие из вершины $C$:

$CD^2=(6-2)^2+(5-2)^2=16+9=25$.

$CE^2=(5-2)^2+(-2-2)^2=9+16=25$.

Значит, $CD=CE=5$, поэтому треугольник равнобедренный с основанием $DE$.

б) В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая из вершины при равных сторонах, проходит через середину основания. Обозначим эту середину $M$:

$M\left(\frac{6+5}{2};\frac{5+(-2)}{2}\right)=\left(\frac{11}{2};\frac32\right)$.

Направляющий вектор биссектрисы $CM$ равен $\left(\frac72; -\frac12\right)$, или $(7;-1)$. Прямая через $C(2;2)$ с таким направлением имеет уравнение $y-2=-\frac17(x-2)$, то есть $x+7y-16=0$. Для самой биссектрисы берём луч из $C$ в направлении $M$.

Ответ: а) $CD=CE=5$, поэтому $\triangle CDE$ равнобедренный; б) биссектриса из $C$ — луч $CM$, где $M\left(\frac{11}{2};\frac32\right)$; её прямая-носитель: $x+7y-16=0$.