5. Треугольник CDE задан координатами вершин: C(2; 2), D(6; 5), E(5; −2). а) Докажите, что ΔCDE — равнобедренный; б) Найдите биссектрису, проведённую из вершины C.

а) Найдём квадраты длин сторон:

\(CD^2=(6-2)^2+(5-2)^2=16+9=25\),

\(CE^2=(5-2)^2+(-2-2)^2=9+16=25\).

Следовательно, \(CD=CE=5\), поэтому треугольник равнобедренный с основанием DE.

б) В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию из вершины C, проходит через середину основания DE. Обозначим эту середину M:

\(M=(\frac{6+5}{2};\frac{5+(-2)}{2})=(\frac{11}{2};\frac32)\).

Биссектриса — прямая CM. Её наклон равен \(\frac{\frac32-2}{\frac{11}{2}-2}=-\frac17\), поэтому уравнение через C(2; 2): \(y-2=-\frac17(x-2)\), или \(x+7y-16=0\). На отрезке основания биссектриса — отрезок CM.

Ответ: \(CD=CE=5\); биссектриса из C проходит через \(M(\frac{11}{2};\frac32)\), её уравнение \(x+7y-16=0\).