5. Три джентльмена пошли в ресторан в одинаковых шляпах и сдали их в гардероб. Уходя домой, они разобрали шляпы наугад. Случайная величина X равна количеству джентльменов, ушедших домой в своих шляпах. Найдите её математическое ожидание.

Для каждого из трёх джентльменов введём индикатор: он равен 1, если тот получил свою шляпу, и 0 иначе. Вероятность получить свою шляпу при случайной раздаче трёх шляп равна \(\frac13\).

Число совпадений — сумма этих индикаторов. По линейности математического ожидания:

\(E(X)=3\cdot\frac13=1\).

Ответ: \(E(X)=1\).