№5. Упростить \(\left(\dfrac{x-y}{x^{3/4}+x^{1/2}y^{1/4}}-\dfrac{x^{1/2}-y^{1/2}}{x^{1/4}+y^{1/4}}\right)\left(\dfrac{y}{x}\right)^{-1/2}\) при \(x>0, y>0\).

Обозначим \(X=x^{1/4}\), \(Y=y^{1/4}\). Тогда исходное выражение принимает вид \(\left(\dfrac{X^4-Y^4}{X^3+X^2Y}-\dfrac{X^2-Y^2}{X+Y}\right)\left(\dfrac{Y^4}{X^4}\right)^{-1/2}\).

Разложим числители на множители и сократим:

\(\dfrac{X^4-Y^4}{X^3+X^2Y}=\dfrac{(X-Y)(X+Y)(X^2+Y^2)}{X^2(X+Y)}=\dfrac{(X-Y)(X^2+Y^2)}{X^2}\),

\(\dfrac{X^2-Y^2}{X+Y}=X-Y\), а \(\left(\dfrac{Y^4}{X^4}\right)^{-1/2}=\dfrac{X^2}{Y^2}\).

Следовательно, всё выражение равно \(\left(\dfrac{(X-Y)(X^2+Y^2)}{X^2}-(X-Y)\right)\dfrac{X^2}{Y^2}=\dfrac{(X-Y)Y^2}{X^2}\cdot\dfrac{X^2}{Y^2}=X-Y\).

Возвращаясь к исходным обозначениям, получаем \(x^{1/4}-y^{1/4}\).

Ответ: \(\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{y}\).