5. Упростить выражение \(2+5 g^2\beta+5\ctg^2\beta\).

Сгруппируем слагаемые и применим тождество \( g^2\beta+\ctg^2\beta=\dfrac{1}{\sin^2\beta\cos^2\beta}-2\):

\[2+5 g^2\beta+5\ctg^2\beta=2+5\left(\frac{1}{\sin^2\beta\cos^2\beta}-2\right)=\frac{5}{\sin^2\beta\cos^2\beta}-8.\]

Ответ: \(\dfrac{5}{\sin^2\beta\cos^2\beta}-8\).