5. Упростить выражение и найти его значение: $$\frac{a^{-9}}{a^{-2} \cdot a^{-5}}$$, при $$a = \frac{1}{2}$$

Решение:

1. Упростим выражение, используя свойства степеней \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) и \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \).
2. Сначала вычислим знаменатель: \( a^{-2} \cdot a^{-5} = a^{-2 + (-5)} = a^{-7} \).
3. Теперь упростим дробь: \[ \frac{a^{-9}}{a^{-7}} = a^{-9 - (-7)} = a^{-9 + 7} = a^{-2} \].
4. Также можно записать как \( \frac{1}{a^2} \).
5. Теперь подставим значение \( a = \frac{1}{2} \): \[ \frac{1}{(\frac{1}{2})^2} = \frac{1}{\frac{1}{4}} \].
6. Выполним деление: \[ 1 : \frac{1}{4} = 1 \cdot 4 = 4 \].

Ответ: 4