6. Катер, собственная скорость которого 8 км/ч, прошел по реке расстояние равное 15 км и такое же расстояние против течения. Найди скорость течения реки, если время, весь путь, равно 4 часа.

Решение:

Дано:

Скорость катера (собственная) = 8 км/ч

Расстояние по течению = 15 км

Расстояние против течения = 15 км

Общее время = 4 часа

Найти:

Скорость течения реки (x) = ?

1. Пусть \( x \) — скорость течения реки (км/ч).
2. Скорость катера по течению: \( 8 + x \) км/ч.
3. Время в пути по течению: \( t_1 = \frac{15}{8+x} \) часа.
4. Скорость катера против течения: \( 8 - x \) км/ч.
5. Время в пути против течения: \( t_2 = \frac{15}{8-x} \) часа.
6. Общее время в пути: \( t_1 + t_2 = 4 \) часа.
7. Составим уравнение: \[ \frac{15}{8+x} + \frac{15}{8-x} = 4 \]
8. Приведём дроби к общему знаменателю \( (8+x)(8-x) = 64 - x^2 \): \[ \frac{15(8-x) + 15(8+x)}{(8+x)(8-x)} = 4 \]
9. Раскроем скобки и упростим числитель: \[ \frac{120 - 15x + 120 + 15x}{64 - x^2} = 4 \]
10. \( \frac{240}{64 - x^2} = 4 \)
11. Умножим обе части на \( 64 - x^2 \): \( 240 = 4(64 - x^2) \)
12. \( 240 = 256 - 4x^2 \)
13. Перенесём члены уравнения: \( 4x^2 = 256 - 240 \)
14. \( 4x^2 = 16 \)
15. \( x^2 = 4 \)
16. \( x = \pm 2 \).
17. Поскольку скорость не может быть отрицательной, выбираем положительное значение.

Ответ: Скорость течения реки равна 2 км/ч.