5. Упростить выражение $\left(\frac{2}{a^{3/4}+2\sqrt[4]{a}}+\frac{\sqrt a}{4-a}:\frac{a^{0.25}}{2-a^{0.5}}\right)^{-3}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 5. Упростить выражение $\left(\frac{2}{a^{3/4}+2\sqrt[4]{a}}+\frac{\sqrt a}{4-a}:\frac{a^{0.25}}{2-a^{0.5}}\right)^{-3}$.$ Фото задания

5. Упростить выражение $\left(\frac{2}{a^{3/4}+2\sqrt[4]{a}}+\frac{\sqrt a}{4-a}:\frac{a^{0.25}}{2-a^{0.5}}\right)^{-3}$.

Accepted Answer

Положим $t=\sqrt[4]{a}$. Тогда $\sqrt a=t^2$, $a^{3/4}=t^3$, а выражение в скобках равно

$\frac{2}{t^3+2t}+\frac{t^2}{4-t^2}:\frac{t}{2-t^2}$.

Упростим частное во втором слагаемом:

$\frac{t^2}{4-t^2}\cdot\frac{2-t^2}{t}=\frac{t(2-t^2)}{(2-t)(2+t)}$.

Поэтому исходное выражение можно записать как

$\left(\frac{2}{t(t^2+2)}+\frac{t(2-t^2)}{(2-t)(2+t)}\right)^{-3}$, где $t=\sqrt[4]{a}$. Это равно

$\left(\frac{2(2-t)(2+t)+t^2(2-t^2)(t^2+2)}{t(t^2+2)(2-t)(2+t)}\right)^{-3}$.

Так как $(2-t^2)(t^2+2)=4-t^4$, получаем

$\left(\frac{8-2t^2+4t^2-t^6}{t(t^2+2)(4-t^2)}\right)^{-3}=\left(\frac{8+2t^2-t^6}{t(t^2+2)(4-t^2)}\right)^{-3}$.

Заменяем отрицательную степень обратной дробью и возвращаемся к $a$:

Ответ: $\left(\frac{\sqrt[4]{a}\,(\sqrt a+2)(4-\sqrt a)}{8+2\sqrt a-a^{3/2}}\right)^3$, при допустимых значениях выражения.

5. Упростить выражение \(\left(\frac{2}{a^{3/4}+2\sqrt[4]{a}}+\frac{\sqrt a}{4-a}:\frac{a^{0.25}}{2-a^{0.5}}\right)^{-3}\).

Ответ: