№5. Упростить выражение: \(\left(\frac{a^{-1}+b^{-2}}{\sqrt[3]{a^{-1}}+\sqrt[3]{b^{-2}}}+3\sqrt[3]{a^{-1}b^{-2}}\right):\frac{\sqrt[3]{a^{-1}}+\sqrt{b^{-2}}}{b}\).

Question

Вопрос:

Accepted Answer

Обозначим \(u=\sqrt[3]{a^{-1}}\), \(v=\sqrt[3]{b^{-2}}\). Тогда \(a^{-1}=u^3\), \(b^{-2}=v^3\), а \(\sqrt[3]{a^{-1}b^{-2}}=uv\).

Первую дробь упростим по формуле суммы кубов:

\(\frac{a^{-1}+b^{-2}}{\sqrt[3]{a^{-1}}+\sqrt[3]{b^{-2}}}=\frac{u^3+v^3}{u+v}=u^2-uv+v^2\).

В скобках получаем \(u^2-uv+v^2+3uv=(u+v)^2\).

Деление на дробь заменим умножением на обратную дробь:

\((u+v)^2:\frac{\sqrt[3]{a^{-1}}+\sqrt{b^{-2}}}{b}=\frac{b(u+v)^2}{u+\sqrt{b^{-2}}}\).

Возвращаясь к исходным обозначениям, получаем:

Ответ: \(\displaystyle\frac{b\left(\sqrt[3]{a^{-1}}+\sqrt[3]{b^{-2}}\right)^2}{\sqrt[3]{a^{-1}}+\sqrt{b^{-2}}}\).