5. Упростите: \(\frac{a+b}{a+2a^{0.5}b^{0.5}+b}\cdot\left(\frac{a^{0.5}+b^{0.5}}{a^{0.5}-b^{0.5}}-\frac{2a^{0.5}b^{0.5}}{a-b}\right)\).

Question

Вопрос:

Accepted Answer

Положим \(u=\sqrt{a}\), \(v=\sqrt{b}\). Тогда знаменатель первой дроби равен \((u+v)^2\), а разность в скобках:

\[\frac{u+v}{u-v}-\frac{2uv}{u^2-v^2}=\frac{(u+v)^2-2uv}{(u-v)(u+v)}=\frac{u^2+v^2}{(u-v)(u+v)}.\]

Умножаем на первую дробь и возвращаемся к \(a\) и \(b\):

\[\frac{a+b}{(u+v)^2}\cdot\frac{u^2+v^2}{(u-v)(u+v)}=\frac{(a+b)^2}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^3(\sqrt{a}-\sqrt{b})}.\]

Ответ: \(\frac{(a+b)^2}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^3(\sqrt{a}-\sqrt{b})}\).