5. Упростите: \(\left(\frac{a^{\frac12}-b^{\frac12}}{a^{\frac12}+b^{\frac12}}+\frac{2a^{\frac12}b^{\frac12}}{a-b}\right)\cdot\frac{a-2a^{\frac12}b^{\frac12}+b}{a+b}\).

Question

Вопрос:

Фото задания

5. Упростите: \(\left(\frac{a^{\frac12}-b^{\frac12}}{a^{\frac12}+b^{\frac12}}+\frac{2a^{\frac12}b^{\frac12}}{a-b}\right)\cdot\frac{a-2a^{\frac12}b^{\frac12}+b}{a+b}\).

Accepted Answer

Положим \(x=\sqrt a\), \(y=\sqrt b\). Тогда \(a-b=(x-y)(x+y)\), а \(a-2\sqrt{ab}+b=(x-y)^2\).

Приведём сумму в скобках к общему знаменателю:

\(\frac{x-y}{x+y}+\frac{2xy}{(x-y)(x+y)}=\frac{(x-y)^2+2xy}{(x-y)(x+y)}\).

В числителе \((x-y)^2+2xy=x^2+y^2=a+b\), а знаменатель равен \(a-b\). Поэтому выражение равно \(\frac{a+b}{a-b}\cdot\frac{(x-y)^2}{a+b}=\frac{(x-y)^2}{a-b}\).

Так как \(a-b=(x-y)(x+y)\), сокращаем общий множитель:

\(\frac{(x-y)^2}{(x-y)(x+y)}=\frac{x-y}{x+y}=\frac{\sqrt a-\sqrt b}{\sqrt a+\sqrt b}\).

Для исходного выражения нужны \(a,b\ge0\), \(a+b\ne0\) и \(a\ne b\); значит, в области определения \(a,b>0\) и \(a\ne b\).

Ответ: \(\frac{\sqrt a-\sqrt b}{\sqrt a+\sqrt b}\).