5. Упростите выражение. \(\cos\alpha+\cos2\alpha+\cos6\alpha+\cos7\alpha\)

Сгруппируем слагаемые:

\[\cos\alpha+\cos7\alpha=2\cos4\alpha\cos3\alpha,\]

\[\cos2\alpha+\cos6\alpha=2\cos4\alpha\cos2\alpha.\]

Тогда:

\[2\cos4\alpha(\cos3\alpha+\cos2\alpha).\]

Ещё раз применим формулу суммы косинусов:

\[\cos3\alpha+\cos2\alpha=2\cos\frac{5\alpha}{2}\cos\frac\alpha2.\]

Ответ: \(4\cos4\alpha\cos\dfrac{5\alpha}{2}\cos\dfrac\alpha2\).