№5. Упростите выражение: \(\frac{27+a^3}{81-a^4}:\frac{a^2-3a+9}{a^2+9}\).

Разложим числитель и знаменатель первой дроби: \(27+a^3=(a+3)(a^2-3a+9)\), \(81-a^4=(9-a^2)(9+a^2)=(3-a)(3+a)(a^2+9)\).

Заменим деление умножением на обратную дробь и сократим общие множители:

\(\frac{(a+3)(a^2-3a+9)}{(3-a)(3+a)(a^2+9)}\cdot\frac{a^2+9}{a^2-3a+9}=\frac{1}{3-a}\).

Из знаменателя исходной дроби следует, что \(a\ne3\) и \(a\ne-3\). Делитель определён и не равен нулю при всех действительных \(a\).

Ответ: \(\frac{1}{3-a}\), где \(a\ne-3,3\).