№5. Упростите выражение: \(\left(\dfrac{x^3+8}{x^3-2x^2+4x}+\dfrac{8x^3-1}{4x^2+2x+1}\right):\left(\dfrac{8x^3+1}{4x^2-2x+1}-\dfrac{x^3-8}{x^3+2x^2+4x}\right)\).

Разложим суммы и разности кубов на множители и сократим дроби. Для действительных \(x\) знаменатели допустимы при \(x\ne0\): квадратные множители в них положительны.

Первая скобка:

\(\dfrac{x^3+8}{x^3-2x^2+4x}=\dfrac{(x+2)(x^2-2x+4)}{x(x^2-2x+4)}=\dfrac{x+2}{x}\),

\(\dfrac{8x^3-1}{4x^2+2x+1}=2x-1\).

Значит, первая скобка равна \(\dfrac{x+2}{x}+2x-1=\dfrac{2(x^2+1)}{x}\).

Вторая скобка:

\(\dfrac{8x^3+1}{4x^2-2x+1}=2x+1\),

\(\dfrac{x^3-8}{x^3+2x^2+4x}=\dfrac{x-2}{x}\).

Поэтому вторая скобка также равна \(2x+1-\dfrac{x-2}{x}=\dfrac{2(x^2+1)}{x}\). Она не равна нулю при действительных \(x\ne0\), так что деление допустимо.

Делим равные выражения: \(\dfrac{2(x^2+1)}{x}:\dfrac{2(x^2+1)}{x}=1\).

Ответ: \(1\), при \(x\ne0\).