№5. Упростите выражение: \(\left(\frac{x^3+8}{x^3-2x^2+4x}+\frac{8x^3-1}{4x^2+2x+1}\right):\left(\frac{8x^3+1}{4x^2-2x+1}-\frac{x^3-8}{x^3+2x^2+4x}\right)\).

Question

Вопрос:

№5. Упростите выражение: \(\left(\frac{x^3+8}{x^3-2x^2+4x}+\frac{8x^3-1}{4x^2+2x+1}\right):\left(\frac{8x^3+1}{4x^2-2x+1}-\frac{x^3-8}{x^3+2x^2+4x}\right)\).

Accepted Answer

Разложим суммы и разности кубов на множители. Исходное выражение имеет вид

\(\left(\frac{(x+2)(x^2-2x+4)}{x(x^2-2x+4)}+\frac{(2x-1)(4x^2+2x+1)}{4x^2+2x+1}\right):\left(\frac{(2x+1)(4x^2-2x+1)}{4x^2-2x+1}-\frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{x^2+2x+4}\right)\).

Сокращаем дроби: первая скобка равна \(\frac{x+2}{x}+2x-1\), вторая — \(2x+1-(x-2)=x+3\). Первая скобка упрощается до \(\frac{2x^2-x+2}{x}\). Следовательно, всё выражение равно \(\frac{2x^2-x+2}{x(x+3)}\).

Ограничения исходного выражения: знаменатели не равны нулю, а делитель не равен нулю. Поэтому \(x\ne0\) и \(x\ne-3\); остальные квадратные знаменатели действительных корней не имеют. Эти значения исключаются.

Ответ: \(\frac{2x^2-x+2}{x(x+3)}\), где \(x\ne0,-3\).