5. Уравнение окружности с диаметром MN, если М(-2;1) и № (4;5)

Решение:

Центр окружности — середина её диаметра. Найдем координаты середины отрезка MN, которая будет центром окружности \( (a, b) \).

Формула для нахождения середины отрезка: \( a = \frac{x_1 + x_2}{2} \) и \( b = \frac{y_1 + y_2}{2} \).

Подставляем координаты точек \( M(-2; 1) \) и \( N(4; 5) \):

[\]a = \(\frac{-2 + 4}{2}\) = \(\frac{2}{2}\) = 1\[][\]b = \(\frac{1 + 5}{2}\) = \(\frac{6}{2}\) = 3\[]

Итак, центр окружности — \( (1, 3) \).

Радиус окружности — половина длины диаметра. Сначала найдем квадрат длины диаметра \( MN \) по формуле расстояния между двумя точками: \( d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 \).

[\]MN^2 = (4 - (-2))^2 + (5 - 1)^2\[][\]MN^2 = (4 + 2)^2 + (4)^2\[][\]MN^2 = 6^2 + 16\[][\]MN^2 = 36 + 16 = 52\[]

Квадрат радиуса \( R^2 \) равен \( \frac{MN^2}{4} \) или \( (\frac{MN}{2})^2 \).

[\]R^2 = \(\frac{52}{4}\) = 13\[]

Теперь запишем уравнение окружности с центром \( (1, 3) \) и \( R^2 = 13 \):

[\](x - 1)^2 + (y - 3)^2 = 13\[]

Ответ: \( (x-1)^2 + (y-3)^2 = 13 \).