5. Уставший после долгой дороги путник сел у костра.

Уставший после долгой дороги путник сел у костра.

Причастный оборот стоит перед определяемым словом «путник», поэтому запятая не ставится.

Уставший — причастие, начальная форма — уставший; действительное, прошедшего времени, совершенного вида, невозвратное; полная форма, именительный падеж, единственное число, мужской род. В предложении — определение.