5. В △ABC: BC = 8√3, ∠A = 30°, ∠B = 60°. Найдите AC. (Теорема косинусов) → ∠C = 90°.

Сумма углов треугольника подтверждает, что ∠C = 180° − 30° − 60° = 90°.

По теореме косинусов для стороны AC: \(AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot\cos B\).

Так как ∠C = 90°, теорема косинусов для стороны AB даёт \(AB^2=AC^2+BC^2\). Кроме того, из теоремы косинусов для AC и равенства \(\cos60^\circ=\dfrac12\) следует \(AC^2=AB^2+BC^2-AB\cdot BC\). Подставляя \(AB^2=AC^2+BC^2\), получаем \(AB\cdot BC=2BC^2\), то есть \(AB=2BC\). Это несогласуется с заданными углами: при ∠A = 30° и ∠B = 60° отношение гипотенузы к стороне BC должно быть 2, а не полученное равенство из записи выше. Удобно применить теорему косинусов к гипотенузе: поскольку ∠C = 90°, \(AB^2=AC^2+BC^2\), а по углу A в прямоугольном треугольнике \(BC=AB\sin30^\circ=AB/2\). Тогда \(AB=2BC\), и \(AC^2=AB^2-BC^2=3BC^2\).

Следовательно, \(AC=\sqrt{3}\cdot8\sqrt{3}=24\).

Ответ: \(AC=24\).