5. В четырёхугольнике ABCD: AB = CD, BC = AD. Докажите, что ABCD — параллелограмм.

Проведём диагональ \(AC\). Рассмотрим треугольники \(ABC\) и \(CDA\):

1. \(AB=CD\) и \(BC=AD\) по условию.
2. \(AC=CA\) — общая сторона.
3. Следовательно, треугольники равны по трём сторонам.

Из равенства треугольников следует, что соответствующие углы равны: \(\angle BAC=\angle DCA\) и \(\angle BCA=\angle DAC\). Это накрест лежащие углы при секущей \(AC\), значит, \(AB\parallel CD\) и \(BC\parallel AD\).

У четырёхугольника обе пары противоположных сторон параллельны, поэтому он является параллелограммом.