5. В единичном кубе ABCD A₁B₁C₁D₁ найдите расстояние от точки A до плоскости (BDA₁).

Введём координаты куба с ребром 1: \(A=(0;0;0)\), \(B=(1;0;0)\), \(D=(0;1;0)\), \(A_1=(0;0;1)\).

Плоскость через точки B, D и A₁ имеет уравнение \(x+y+z=1\): все три указанные точки удовлетворяют ему.

Расстояние от A до этой плоскости:

\(d=\dfrac{|0+0+0-1|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}=\dfrac{1}{\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3}{3}\).

Ответ: \(\dfrac{\sqrt3}{3}\).