5. В единичном кубе \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) найдите расстояние от точки B до плоскости \((DA_1C_1)\).

Введём координаты единичного куба: \(A(0;0;0)\), \(B(1;0;0)\), \(D(0;1;0)\), \(A_1(0;0;1)\), \(C_1(1;1;1)\).

Нормальный вектор плоскости \((DA_1C_1)\) найдём как векторное произведение \(\overrightarrow{DA_1}=(0;-1;1)\) и \(\overrightarrow{DC_1}=(1;0;1)\): получаем \((-1;1;1)\). Поэтому уравнение плоскости через точку \(D(0;1;0)\): \(-x+(y-1)+z=0\), то есть \(-x+y+z-1=0\).

Расстояние от \(B(1;0;0)\) до этой плоскости:

\(d=\frac{|-1+0+0-1|}{\sqrt{(-1)^2+1^2+1^2}}=\frac{2}{\sqrt3}=\frac{2\sqrt3}{3}\).

Ответ: \(\frac{2\sqrt3}{3}\).