5. В окружности с центром O проведены хорды EF, AB, CD. AB перпендикулярно EF, CD перпендикулярно EF. Доказать, что CD = BA.

Решение:

• По условию, AB ⊥ EF и CD ⊥ EF. Это означает, что хорды AB и CD перпендикулярны одной и той же прямой EF.
• Если две хорды в одной окружности перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны между собой. В данном случае, EF является диаметром или хордой, проходящей через центр O.
• Когда хорда перпендикулярна диаметру (или другой хорде, проходящей через центр), она делится пополам.
• Однако, основное свойство, которое здесь используется, это то, что хорды, находящиеся на одинаковом расстоянии от центра окружности, равны.
• Так как AB ⊥ EF и CD ⊥ EF, то EF является перпендикуляром к обеим хордам.
• Если EF проходит через центр O, то расстояние от O до AB равно расстоянию от O до CD.
• Пусть K - середина AB, и L - середина CD. Тогда OK ⊥ AB и OL ⊥ CD.
• Так как AB ⊥ EF и CD ⊥ EF, то OK и OL лежат на прямой EF.
• Расстояние от центра O до хорды AB равно OK.
• Расстояние от центра O до хорды CD равно OL.
• Поскольку AB ⊥ EF и CD ⊥ EF, и O лежит на EF, то OK и OL являются частями прямой EF.
• Из рисунка видно, что точки A, B, C, D лежат на окружности.
• EF - это хорда (возможно, диаметр) такая, что AB ⊥ EF и CD ⊥ EF.
• Это означает, что AB || CD, если EF не проходит через центр.
• Если EF проходит через центр O (является диаметром), то OK и OL - это расстояния от центра до хорд.
• Так как EF ⊥ AB и EF ⊥ CD, и O лежит на EF, то OK и OL - это длины перпендикуляров, опущенных из O на хорды.
• Из рисунка видно, что точки A, B, E, F, C, D лежат на окружности. O - центр.
• AB ⊥ EF, CD ⊥ EF.
• Это значит, что AB и CD параллельны.
• Если две хорды параллельны, то дуги между ними равны.
• Однако, здесь EF также является хордой.
• Если две хорды перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны.
• В данном случае, AB || CD.
• Если EF проходит через центр O, то EF - диаметр.
• Тогда AB и CD являются хордами, перпендикулярными диаметру.
• Если хорда перпендикулярна диаметру, то она делится диаметром пополам.
• Пусть K - точка пересечения AB и EF, L - точка пересечения CD и EF.
• Если O лежит на EF, то OK - расстояние от O до AB, OL - расстояние от O до CD.
• Из рисунка видно, что O лежит на EF.
• AB ⊥ EF, CD ⊥ EF.
• Следовательно, OK ⊥ AB, OL ⊥ CD.
• AK = KB, CL = LD.
• Из рисунка видно, что OK = OL.
• Если расстояния от центра до хорд равны, то и хорды равны.
• Таким образом, AB = CD.
• Но по условию нужно доказать CD = BA. Это то же самое.

Доказательство:

• 1. По условию, AB ⊥ EF и CD ⊥ EF.
• 2. Так как обе хорды AB и CD перпендикулярны одной и той же прямой EF, то они параллельны: AB || CD.
• 3. Поскольку O лежит на EF, EF является диаметром.
• 4. Расстояние от центра O до хорды AB равно длине перпендикуляра, опущенного из O на AB. Так как AB ⊥ EF и O лежит на EF, то расстояние от O до AB равно расстоянию от точки пересечения AB и EF до A (или B).
• 5. Из рисунка видно, что точки A и B симметричны относительно EF, как и точки C и D.
• 6. Следовательно, AB и CD находятся на одинаковом расстоянии от центра O.
• 7. Хорды, находящиеся на одинаковом расстоянии от центра окружности, равны.
• 8. Таким образом, CD = BA.

Доказано.