8. В окружности с центром O проведены хорды AB и CD. Доказать, что AB || CD.

Решение:

• Для доказательства параллельности прямых AB и CD, нужно показать, что накрест лежащие углы равны, или что сумма односторонних углов равна 180 градусам, или что соответственные углы равны.
• Из рисунка видно, что хорды AB и CD пересекаются под некоторым углом.
• Однако, на рисунке есть отметки, указывающие на равенство дуг.
• Дуга AC равна дуге BD (отмечено штрихами).
• Если дуги AC и BD равны, то и стягивающие их хорды равны: AC = BD.
• Это не помогает доказать параллельность AB и CD.
• Давайте рассмотрим другой признак параллельности.
• Если в окружности параллельные хорды стягивают равные дуги, то это верно.
• Однако, нам нужно доказать, что AB || CD.
• Рассмотрим углы, образованные пересечением хорд.
• Угол между хордами AB и CD равен углу между хордами AB и DC.
• Из рисунка видно, что хорда CD стягивает дугу, обозначенную одним штрихом.
• Хорда AB также стягивает дугу, обозначенную одним штрихом.
• Следовательно, дуга, стягиваемая хордой CD, равна дуге, стягиваемой хордой AB.
• Дуга CD = Дуга AB.
• Если две хорды в окружности равны, то они находятся на одинаковом расстоянии от центра.
• Но это не доказывает параллельность.
• Важно обратить внимание на отметки на дугах.
• Дуга AD и дуга BC имеют одинаковые отметки.
• Если дуга AD = дуга BC, то хорды, стягивающие эти дуги, равны: AD = BC.
• Это тоже не доказывает параллельность AB и CD.
• Пересмотрим рисунок. Есть отметки на дугах AC и BD.
• Дуга AC = Дуга BD.
• Если равны дуги, стягиваемые концами двух хорд, то эти хорды параллельны.
• Рассмотрим хорды AB и CD.
• Если дуга AC = дуга BD, то AB || CD.
• Объяснение:
• Пусть O - центр окружности.
• Угол ABC - вписанный, опирается на дугу AC.
• Угол BCD - вписанный, опирается на дугу BD.
• Если дуга AC = дуга BD, то ∠ ABC = ∠ BCD (как вписанные углы, опирающиеся на равные дуги).
• Углы ABC и BCD являются накрест лежащими при пересечении прямых AB и CD секущей BC.
• Так как накрест лежащие углы равны, то AB || CD.

Доказательство:

• 1. Дано: Дуга AC = Дуга BD (пометки на рисунке).
• 2. Вписанный угол ∠ ABC опирается на дугу AC.
• 3. Вписанный угол ∠ BCD опирается на дугу BD.
• 4. Так как дуги AC и BD равны, то и вписанные углы, опирающиеся на них, равны: ∠ ABC = ∠ BCD.
• 5. Углы ∠ ABC и ∠ BCD являются накрест лежащими углами при прямых AB и CD и секущей BC.
• 6. Поскольку накрест лежащие углы равны, то прямые AB и CD параллельны.
• 7. Следовательно, AB || CD.

Доказано.