5. В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке O. На диагонали BD отложены равные отрезки BM = ND. Докажите, что если четырёхугольник AMCN — ромб, то диагонали параллелограмма ABCD перпендикулярны.

Так как ABCD — параллелограмм, диагонали делятся точкой пересечения пополам: BO = OD. Условие BM = ND означает, что точки M и N расположены на BD на одинаковом расстоянии от его концов B и D. Поэтому O — середина MN.

O также является серединой AC, поскольку это диагональ параллелограмма ABCD. Значит, диагонали AC и MN четырёхугольника AMCN делятся точкой O пополам, следовательно, AMCN — параллелограмм.

По условию AMCN — ромб. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, значит AC ⟂ MN. Поскольку M и N лежат на BD, отрезок MN является частью диагонали BD, следовательно, AC ⟂ BD.

Доказано: диагонали параллелограмма ABCD перпендикулярны.