5. В прямоугольном треугольнике ABC (∠B = 90°) BD — высота. Заполнить: а) … = √(x · y); б) AB = √(x · …); в) BC = √(y · …); г) (x + y)² = …; д) ΔABD ∼ Δ…; е) S₍ABD₎ / S₍BDC₎ = …

По рисунку \(AD=x\), \(DC=y\), поэтому \(AC=x+y\). Для высоты, проведённой к гипотенузе, применяем теоремы о пропорциональных отрезках.

1. \(BD=\sqrt{xy}\).
2. \(AB=\sqrt{x(x+y)}\).
3. \(BC=\sqrt{y(x+y)}\).
4. По теореме Пифагора: \(AB^2+BC^2=AC^2=(x+y)^2\).
5. \(\triangle ABD\sim\triangle CBD\).
6. Треугольники имеют общую высоту к прямой \(AC\), поэтому \(\dfrac{S_{ABD}}{S_{BDC}}=\dfrac{AD}{DC}=\dfrac{x}{y}\).

Ответ: \(BD=\sqrt{xy}\); \(AB=\sqrt{x(x+y)}\); \(BC=\sqrt{y(x+y)}\); \(AB^2+BC^2=(x+y)^2\); \(\triangle ABD\sim\triangle CBD\); \(S_{ABD}:S_{BDC}=x:y\).