5. В прямоугольном треугольнике ABC ∠C=90°, АС=8 см, ДАВС =45°. Найдите: a)AB; б) высоту CD, проведенную к гипотенузе.

Решение:

а) Найдем гипотенузу AB.

В прямоугольном треугольнике ABC \( \angle C = 90^{\circ} \), \( AC = 8 \) см, \( \angle ABC = 45^{\circ} \).

Сумма углов в треугольнике равна \( 180^{\circ} \). Значит, \( \angle BAC = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ} \).

Так как \( \angle BAC = \angle ABC = 45^{\circ} \), треугольник ABC является равнобедренным прямоугольным треугольником. Следовательно, катеты равны: \( AC = BC = 8 \) см.

Теперь найдем гипотенузу AB по теореме Пифагора: \( AB^2 = AC^2 + BC^2 \)

\( AB^2 = 8^2 + 8^2 \)

\( AB^2 = 64 + 64 \)

\( AB^2 = 128 \)

\( AB = \sqrt{128} = \sqrt{64 \times 2} = 8\sqrt{2} \) см.

Ответ а): \( 8\sqrt{2} \) см.

б) Найдем высоту CD, проведенную к гипотенузе.

Площадь прямоугольного треугольника ABC можно найти двумя способами:

1. Через катеты: \( S = \frac{1}{2} \times AC \times BC \)
2. Через гипотенузу и высоту к ней: \( S = \frac{1}{2} \times AB \times CD \)

Приравняем эти два выражения для площади:

\( \frac{1}{2} \times AC \times BC = \frac{1}{2} \times AB \times CD \)

\( AC \times BC = AB \times CD \)

Выразим высоту CD:

\( CD = \frac{AC \times BC}{AB} \)

Подставим известные значения:

\( CD = \frac{8 \text{ см} \times 8 \text{ см}}{8\sqrt{2} \text{ см}} \)

\( CD = \frac{64}{8\sqrt{2}} \text{ см} \)

\( CD = \frac{8}{\sqrt{2}} \text{ см} \)

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на \( \sqrt{2} \):

\( CD = \frac{8 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} \text{ см} \)

\( CD = \frac{8\sqrt{2}}{2} \text{ см} \)

\( CD = 4\sqrt{2} \text{ см} \).

Ответ б): \( 4\sqrt{2} \) см.