5. В равнобедренном треугольнике ABC проведена биссектриса BK, ∠B = 120°. Найдите длину биссектрисы, если BC = 12.

Так как треугольник равнобедренный, возможны три выбора вершины, в которой сходятся равные стороны. При условии \(\angle B=120°\) вершина B должна быть вершиной между равными сторонами: иначе один из равных углов оказался бы равен 120°, что невозможно.

Значит, \(AB=BC=12\), а биссектриса BK делит угол B пополам: \(\angle ABK=\angle KBC=60°\). В равнобедренном треугольнике биссектриса из вершины B также является высотой и медианой. Поэтому треугольник BKC прямоугольный, причём \(\angle B=60°\), \(\angle K=90°\), \(\angle C=30°\).

В треугольнике 30°–60°–90° катет напротив 60° в \(\sqrt{3}\) раз больше катета напротив 30°. Здесь \(BC=12\) — гипотенуза, а \(BK\), лежащий напротив 30°, равен половине гипотенузы:

\(BK=\frac{BC}{2}=\frac{12}{2}=6\).

Ответ: BK = 6.