5. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС угол С равен 80°. Отрезок MN проведён так, что ∠CAN = 40° и MN || AC. Найдите ∠BMN. Докажите, что ΔAMN равнобедренный.

В равнобедренном треугольнике ABC углы при основании AC равны, значит, угол A тоже равен 80°. Так как MN || AC, то ∠AMN = ∠BAC = 80° как соответственные углы. ∠CAN = 40° по условию, следовательно, ∠MAN = ∠BAC - ∠CAN = 80° - 40° = 40°. В треугольнике AMN два угла равны 40°, значит, он равнобедренный. Угол B равен 180 - 80 - 80 = 20. Угол MNB = угол NCA = 80 (соответственные углы), и следовательно, угол BMN = 180 - 80 - 40 = 60. Угол BMN=180 - 40 - 80=60; Сумма углов треугольника BMN = 180, BMN = 180 - (угол MBN) - (угол BNM). ∠BCA = 80, следовательно, ∠BAC = 80. ∠CAN = 40, значит ∠BAM = 80 - 40 = 40. ∠AMN = ∠BAC = 80 (как соответственные), ∠ANM= ∠ACB = 80, получается треугольник AMN равнобедренный, тк два угла = 40. ∠BMN = 180 - 80 - 40 = 60. Ответ: ∠BMN = 60°. Треугольник AMN равнобедренный.