5. В равнобедренный треугольник вписана окружность. Найдите её радиус, если основание треугольника равно 2, а угол при этом основании равен α.

Высота равнобедренного треугольника делит основание пополам. Получаются прямоугольные треугольники с катетом у основания 1 и углом \(\alpha\).

Высота равна \(h=\cot\alpha\), а боковая сторона — \(\sqrt{1+h^2}=\csc\alpha\).

Площадь исходного треугольника равна \(S=\frac12\cdot2\cdot h=h\), а полупериметр — \(p=1+\csc\alpha\). Для радиуса вписанной окружности \(r=S/p\), поэтому

\(r=\frac{\cot\alpha}{1+\csc\alpha}=\frac{\cos\alpha}{1+\sin\alpha}\).

Ответ: \(r=\frac{\cos\alpha}{1+\sin\alpha}\).