5. * В ромбе PQRS из вершины P проведена высота PT к стороне QR. Угол QPT равен 30°, а отрезок QT=9 см. Найдите длину диагонали PR, если T лежит на QR.

Треугольник \(PQT\) прямоугольный: \(PT\perp QR\), а \(T\in QR\). В нём угол при \(P\) равен 30°, а противолежащий ему катет \(QT=9\) см. В прямоугольном треугольнике катет против угла 30° равен половине гипотенузы, поэтому \(PQ=18\) см.

Все стороны ромба равны, значит, \(QR=18\) см. Тогда \(TR=QR-QT=18-9=9\) см.

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике \(PTR\):

\(PT=\sqrt{PQ^2-QT^2}=\sqrt{18^2-9^2}=9\sqrt{3}\) см.

Теперь в треугольнике \(PTR\):

\(PR=\sqrt{PT^2+TR^2}=\sqrt{(9\sqrt{3})^2+9^2}=18\) см.

Ответ: 18 см.