5. В случайном эксперименте симметричную монету бросают четыре раза. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно 2 раза.

Задание 5. Вероятность выпадения орла ровно 2 раза при 4 бросках монеты

Дано:

• Количество бросков монеты: 4.
• Монета симметричная (вероятность выпадения орла (О) = 0.5, вероятность выпадения решки (Р) = 0.5).

Найти: Вероятность того, что орел выпадет ровно 2 раза.

Решение:

Это задача на биномиальное распределение. Вероятность выпадения события \(k\) раз в \(n\) независимых испытаниях рассчитывается по формуле:

• \[ P(X=k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \]

Где:

• \(n\) — общее количество испытаний (бросков монеты), \( n=4 \).
• \(k\) — количество наступлений события (выпадение орла), \( k=2 \).
• \(p\) — вероятность наступления события в одном испытании (вероятность выпадения орла), \( p=0.5 \).
• \(1-p\) — вероятность ненаступления события (вероятность выпадения решки), \( 1-p=0.5 \).
• \(C_n^k\) — число сочетаний из \(n\) по \(k\), которое рассчитывается как \[ C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

1. Рассчитаем число сочетаний \(C_4^2\): \[ C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \times (2 \times 1)} = \frac{24}{4} = 6 \]
2. Это означает, что существует 6 возможных комбинаций, где орел выпадает ровно 2 раза (например, ООPР, ОРОП, ОПРО, РООР, РОПО, РПОО).
3. Теперь подставим значения в формулу биномиального распределения: \[ P(X=2) = C_4^2 \cdot (0.5)^2 \cdot (0.5)^{4-2} \]
4. \[ P(X=2) = 6 \cdot (0.5)^2 \cdot (0.5)^2 \]
5. \[ P(X=2) = 6 \cdot (0.25) \cdot (0.25) \]
6. \[ P(X=2) = 6 \cdot 0.0625 = 0.375 \]

Ответ: Вероятность того, что орел выпадет ровно 2 раза, равна 0.375 (или $$\frac{3}{8}$$).