5. В трапеции ABCD с основаниями AD и BC на боковой стороне AB отмечена точка E так, что AE:EB = 2:1. Через точку E проведена прямая, параллельная основаниям и пересекающая сторону CD в точке F. Докажите, что отрезок EF делит диагональ трапеции BD в отношении 1:2, считая от вершины B.

Обозначим через P точку пересечения EF и диагонали BD. Так как EF параллельна AD, то EP параллельна AD.

1. Из AE:EB = 2:1 следует, что AB состоит из трёх равных частей и \(BE/BA=1/3\).
2. В треугольнике BAD отрезок EP параллелен стороне AD. По теореме Фалеса \(BP/BD=BE/BA=1/3\).
3. Значит, \(PD=BD-BP=2BD/3\), поэтому \(BP:PD=1:2\).

Следовательно, EF делит диагональ BD в отношении 1:2, считая от вершины B.